Question

【题目】如图，王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC，AB=AC=5米，BC=6米，现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜，△AMN区域种植芹菜，△CME和△BNF区域种植青菜（开垦土地面积损耗均忽略不计），其中点M，N分别在AC，AB上，点E，F在BC上，已知韭菜每平方米收益100元，芹菜每平方米收益60元，青菜每平方米收益40元，设CM=5x米，王爷爷的蔬菜总收益为W元．

（1）当矩形MNFE恰好为正方形时，求韭菜种植区域矩形MNFE的面积．

（2）若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍，求这时x的值．

（3）求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x=或;(3)W=﹣1200（x﹣）2+912，x=时，W有最大值，最大值为912元

【解析】

（1）根据成比例，设一个未知数，通过勾股定理求解.（2）用代数式表示各种蔬菜的收益，根据条件形成等式，从而求解，得出x.（3）用x表示出各个蔬菜的收益，求和为W，从而做出函数式，用二次函数规律求出最大值.

（1）作AH⊥BC于H，交MN于D．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴CH=HB=3，

在Rt△ACH中，AH==4，

∵ME∥AH，

∴==，

∴CE=3x，EM=EF=4x，

易证△MEC≌△NFB，

∴CE=BF=3x，

∴3x+4x+3x=6，

∴x=，

∴EM=，

∴矩形MNFE的面积为平方米．

（2）由题意：100×4x（6﹣6x）=2[60××（6﹣6x）（4﹣4x）+40×4x×3x]，

解得x=或．

（3）由题意W=100×4x（6﹣6x）+60××（6﹣6x）（4﹣4x）+40×4x×3x=﹣1200x2+960x+720=﹣1200（x﹣）2+912，

，∵﹣1200＜0，

∴x=时，W有最大值，最大值为912元．