Question

【题目】如图，ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点E．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．

①求MN的长．

②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为　 　（直接写出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），B（3，0），C（2，1）；（2）①MN＝；②

【解析】

（1）由ABCD可知CD，进而求出E和C点坐标，由AB长从而求出AB点.（2）①由第一问解出抛物线方程，上移m更改抛物线方程，由其过D，进而求出上移后抛物线方程，再求MN.②根据三角函数，求出最小值.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=2，

∵CE⊥x轴，

∴OE=2，

∵点E是AB中点，

∴AE=BE=1，

∴OA=2﹣1=1．OB=OE+BE=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∵D（0，1），

∴C（2，1）；

（2）由（1）知，抛物线的顶点C（2，1），

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，

∵A（1，0）在抛物线上，

∴a（1﹣2）2+1=0，

∴a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，

①该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，设平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1+m，

∵D（0，1），

∴﹣（﹣2）2+1+m=1，

∴m=4，

∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，

令y=0，

∴0=﹣（x﹣2）2+5，

∴x=2±，

∴M（2+，0），N（2﹣，0），

∴MN=2；

②如图，

在第一象限的抛物线对称轴上取一点P1，使∠P1AB=60°，

在Rt△AEP1中，AP1=2AE=2，P2E=

∴点Q1和点B重合，

∴Q1（3，0），P1（2，），

在第一象限的抛物线对称轴上取一点P2，使∠P2AB=30°，

在Rt△AEP2中，P2E=AEtan30°=，

∴点Q2（2，﹣），

∴直线Q1Q2的解析式y=x﹣

在第二象限的抛物线对称轴上取一点P3，使∠P3AE=60°，

由旋转知，Q3和点P1关于点A对称，

∴Q3（0，﹣），

∴点Q3在直线Q1Q2上，

∴点Q的运动轨迹是直线Q1Q2，

∴当OQ⊥Q1Q2时，OD最短，

∵Q1Q3=2

∴OD最小==，

故答案为．