Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD=10，CD=15，E是边CD上一点，且DE=5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF，设AP=m．

（1）当m=6时，求AF的长．

（2）在点P的整个运动过程中．

①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围．

②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求m的值．

（3）若点A，H关于点O成中心对称，连结EH，CH．当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的m的值．（直接写出答案即可）

Answer 1

【答案】(1)13;(2)① tan∠PFE的值不变, tan∠PFE=;②m=5;(3) 满足条件的m的值为10﹣5或10﹣2或或10+3

【解析】

（1）做辅助线，根据勾股定理，相似成比例求值.（2）根据几何关系和应用公式进而得出tan∠PFE的值不变，再根据题干的特殊条件求出m.（3）根据几何关系多次利用勾股定理求解.

（1）如图1中，连接AE．

在Rt△DPE中，∵DE=5，DP=AD﹣AP=4，

∴PE==，

在Rt△ADE中，AE==5，

∵∠PAF=90°，

∴PF是⊙O的直径，

∴∠PEF=∠ADF=90°，

∵∠DAE=∠PFE，

∴△ADE∽△FEP，

∴=，

∴=，

∴PF=，

在Rt△PAF中，AF===13．

（2）①tan∠PFE的值不变．

理由：如图1中，∵∠PFE=∠DAE，

∴tan∠PFE=tan∠DAF==．

②如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时m=10．

如图3中，当⊙O经过A、B时，

在Rt△BCE中，BE==10，

∵tan∠PFE=，

∴PE=5，

∴PD==5，

∴m=PA=5．

如图4中当⊙O经过AC时，作FM⊥DC交DC的延长线于M．

根据对称性可知，DE=CM=BF=5，

在Rt△EFM中，EF==5，

∴PE=EF=，

∴PD==，

∴m=AD﹣PD=，

综上所述，m=10或5或时，矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上

（3）如图5中，当EC=CH时，根据对称性可知：PE=CH=EC=10，PD==5，

∴m=10﹣5．

如图6中当EC=EH=10时，

在Rt△AEH中，AH===5，

易知PF=AH=5，

∵∴∴PE：EF：PF=1：2：，

∴PE=，

在Rt△PDE中，DP==2，

∴m=PA=AD﹣PD=10﹣2．

如图7中当HC=HE时，延长FH交CD于M，则EM=CM=BF=5，HM=，

∴m=PA=HF=10﹣=．

如图8中，当EH=EC时，

PF=AH===5，

∵PE：EF：PF=1：2：，

∴PE=，

在Rt△PDE中，PD==3，

∴m=PA=AD+PD=10+3，

综上所述，满足条件的m的值为10﹣5或10﹣2或或10+3．