Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.

(1)求证：DC＝DE；

(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)1.

【解析】试题分析：（1）利用切线的性质和等腰三角形的性质可以得出∠DCE=∠E，进而得出答案；

（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．

试题解析：（1）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE；

（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，，则，解得：（舍去），，故BD=1．