Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，，，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使，连接DE、GE、GF.

（1）求证：四边形EDFG是平行四边形；

（2）若，探究四边形EDFG的形状？

（3）在（2）的条件下，当E点在何处时，四边形EDFG的面积最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当E点在AC中点时，四边形EDGF的面积最小为4.

【解析】

（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；

（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A＝∠DCF＝45°、AD＝CD，结合AE＝CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE＝DF、ADE＝∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF＝90°，再根据（1）中的结论，由此即可证出四边形EDFG是正方形；

（3）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．

（1）证明：∵O是EF的中点，

∴OE＝OF，

∵OG＝OD，

∴四边形EDFG是平行四边形；

（2）解：四边形EDFG是正方形，理由是：

连接CD，如图1所示，

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，

∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD．

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF．

∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，

由（1）知：四边形EDFG是平行四边形；

∴四边形EDFG是正方形；

（3）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，

∴DE′＝BC＝2，AB＝4，点E′为AC的中点，

∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）．

∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8．

∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．