Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 = ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论： ①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF=4 ．
其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵ = ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= = ，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ，
∴tan∠E= ；
故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD= = ，
∴S△ADF= DFAG= ×6× =3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴ =（ ）2 ，
∴ = ，
∴S△AED=7 ，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ；
故④正确．
所以答案是：①②④．
【考点精析】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理的相关知识点，需要掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．