Question

【题目】（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于　 　时，线段AC的长取到最大值，则最大值为　 ；（用含a、b的式子表示）。

（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=2，分别以AB，AC为边，作等边和等边，连接CD，BE.

①图中与线段BE相等的线段是线段 ，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值为 。

（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为 ，及此时点P的坐标为 。（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1：）

Answer 1

【答案】（1）CB延长线上；a+b（2）①DC②6；（3）3+2，（2-，）或（2-，-）.

【解析】

1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论．

（1）CB延长线上；a+b；

（2）①DC，

理由如下：∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD与△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE.

②6

（3）

（2-，）或（2-，-）