Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE+BF=EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④ 与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（ ）

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

Answer 1

【答案】B
【解析】延长CB到G，使BG=DE，连接AG．

在△ABG和△ADE中， ，

∴△ABG≌△ADE，

∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，

又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAF=45°

∴∠GAF=∠EAF=45°．

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE，

∴GF=EF=BG+BF，

又∵DE=BG，

∴EF=DE+BF；故①正确；

在AG上截取AH=AM．

在△AHB和△AMD中， ，

∴△AHB≌△AMD，

∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，

又∵∠ABD=45°，

∴∠HBN=90°．

∴BH2+BN2=HN2．

在△AHN和△AMN中，

，

∴△AHN≌△AMN，

∴MN=HN．

∴BN2+DM2=MN2；故②正确；

∵AB∥CD，

∴∠DEA=∠BAM．

∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°﹣∠ABM﹣∠AMN=180°﹣∠MAN﹣∠AMN=∠AND，

∴∠AEF=∠ANM，

又∠MAN=∠FAE，

∴△AMN∽△AFE，故③正确；

过A作AP⊥EF于P，

∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，

∴AP=AD，

∴ 与EF相切；故④正确；

∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，

∴∠AMN不一定等于∠AEF，

∴MN不一定平行于EF，故⑤错误，

所以答案是：B．

【考点精析】利用正方形的性质和切线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．