Question

【题目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形；
（2）如图1，求AF的长；
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度，若不可能，请说明理由；
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，

∴OA=OC，

又∵矩形ABCD中，AD∥BC．

∴∠OEA=∠FCO，

∴在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（AAS）．

∴OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵AC⊥EF于点O，

∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

（2）

解：由（1）可知，四边形AFCE是菱形，设AF=FC=CE=AE=x，BF=y，

由题意，有 解得

即：所求AF的长为5．

（3）

解：①有可能是矩形，理由如下：

当点P从点A出发移动到点B、点Q运动到点D时，四边形APCQ是矩形，

此时，二者的运动时间相等，则，

t=（5+3）÷1=8（秒），

而点Q的速度为：4÷8=0.5（cm/s），

∴所求时间为8秒，点Q的速度为0.5cm/s，

②

由题意可知，RT△ABF≌RT△CDE，且AB=CD=4，BF=DE=3，AF=CE=5，

如图：当四边形APCQ是平行四边形时，有AP∥CQ，且AP=CQ，

而 AP=t，CQ=（3+4+5）﹣0.8t，则

t=12﹣0.8t，t=12，

即：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为12

【解析】（1）由判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证，（2）由（1）得，设AF=FC=CE=AE=x，BF=y，由图形中存在的等量关系及勾股定理求证，（3）①若以点A、C、P、Q四点为顶点四边形是矩形，则点P与点B重合，点Q与点D 重合，由运动过程中时间相等求解，②则利用平行四边形的性质可以求解．
【考点精析】掌握菱形的性质和矩形的性质是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．