【题目】哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为 ． （Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．
（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X，求X的分布列及数学期望．

参考答案：

【答案】解：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做第1题”，事件B表示“乙选做第1题”， 则“甲选做第2题”为 ，“乙选做第2题”为 ；
∴甲、乙2位选手选做同一道题的事件为“AB+ ”，且事件A、B相互独立；
∴P（AB+ ）=P（A）P（B）+P（ ）P（ ）= × +（1﹣ ）×（1﹣ ）= ；
（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5， ）；
∴P（X=k）= = ，k=0，1，2，3，4，5；
∴变量X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

5

P

X的数学期望为EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× =
（或EX=np=5× = ）
【解析】（I）利用相互独立事件的概率公式，求出甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．
【考点精析】认真审题，首先需要了解离散型随机变量及其分布列(在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列)．

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