Question

【题目】如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是（ ） ①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．

A.①③
B.①④
C.②④
D.③④

Answer 1

【答案】D
【解析】证明：①∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①错误，
②如图1，连结CD，

∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
假设AC平分∠BAF成立，则有DC=BC，
∴在RT△FDB中，DC=BC=FC，
∴AC⊥BF，且平分BF，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，与①中的AC垂直BF，但不能得出AC平分BF相矛盾，
故②错误，
③如图2：

∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴D、P、C、F四点共圆，
∴∠CFP和∠CDB都对应 ，
∴∠CFP=∠CDB，
∵∠CDB=∠CAB，
∴∠CFP=∠CAB，
又∵∠FPC=∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∠ACF=90°，
∴∠AMP=90°，
∴FP⊥AB，
故③正确，
④∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AF．
故④正确，
综上所述只有③④正确．
故选：D．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．