【题目】如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（0，3），C（1，0）．

（1）求抛物线及直线AB的函数关系式；

（2）有两动点D、E同时从O出发，以每秒1个单位长度的相同的速度分别沿线段OA、OB向A、B做匀速运动，过D作PD⊥OA分别交抛物线和直线AB于P、Q，设运动时间为t（0＜t＜3）．

①求线段PQ的长度的最大值；

②连接PE，当t为何值时，四边形DOEP是正方形；

③连接DE，在运动过程中，是否存在这样的t值，使PE=DE？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；y=x+3；（2）①当t=1时，PQ的长度有最大值，最大值为4；②当t为时，四边形DOEP是正方形；③存在．当t=时，PE=DE

【解析】试题分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标和直线上两个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式；（2）①用t表示出线段PQ的长，利用二次函数的性质即可求解；②OE=OD=PD时，四边形四边形DOEP是正方形，由此列出方程求解即可；③存作EH⊥PD， 可得PD=2OE，由此列出方程解得t值即可.

试题解析：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），

把B（0，3）代入得a3（﹣1）=3，解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），

即y=﹣x2﹣2x+3；

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（﹣3，0），B（0，3）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=x+3；

（2）①∵D（﹣t，0），PD⊥x轴，

∴P（﹣t，﹣t2+2t+3），Q(-t，-t+3)

∴PQ=﹣t2+2t+3-（-t+3）=﹣t2+3t，

∴当t=时，PQ的长度有最大值，最大值为；

②OE=OD=t，

∵PD∥OE，

∴PD=OE时，四边形DOEP为平行四边形，

而OE=OD，∠DOE=90°，

∴此时四边形DOEP是正方形

即﹣t2+2t+3=t，解得t1=，t2= （舍去），

∴当t=为时，四边形DOEP是正方形；

③存在．

作EH⊥PD，如图，

∵DE=PE，

∴PH=DH，

∴PD=2OE，

即﹣t2+2t+3=2t，解得t1=，t2=﹣（舍去），

∴当t=时，PE=DE．

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