Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AB上一点，且AE=2，M为AD上一动点（不与A、D重合），AM=x，连结EM并延长交CD的延长线于F，过M作MG⊥EF交直线BC于点G，连结EG、FG．

（1）如图1，若M是AD的中点，求证：①△AEM≌△DFM；②△EFG是等腰三角形；

（2）如图2，当x为何值时，点G与点C重合？

（3）当x=3时，求△EFG的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当x=2或6时，点G与点C重合（3）

【解析】试题分析：（1）①根据已知条件，利用ASA即可证得△AEM≌△DFM；②由△AEM≌△DFM可得EM=FM，又因MG⊥EF，根据线段垂直平分线的性质即可得EG=FG，结论得证；（2）当点G与点C重合时，易证△AEM∽△DMC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得x值；（3）过G作GN⊥AD于N（如图3所示），证明△AEM∽△NMG，根据相似三角形的性质可求得MN=2AE=4，利用勾股定理求得EM的长，再证明△DMF∽△NGM，根据相似三角形的性质求得FM的长，进而的EF的长，根据△EFG的面积=EFGM即可得结论.

试题解析：

（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=∠MDF=90°，

∵M是AD的中点，

∴AM=DM，

在△AEM和△DFM中，，

∴△AEM≌△DFM（ASA）；

②∵△AEM≌△DFM，

∴EM=FM，

又∵MG⊥EF，

∴EG=FG，

∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：当点G与点C重合时，

∵∠A=∠EMC=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠CMD=∠CMD+∠DCM，

∴∠AME=∠DCM，

∴△AEM∽△DMC，

∴，

∴，

解得：x1=2，x2=6，

∴当x=2或6时，点G与点C重合；

（3）解：过G作GN⊥AD于N，如图3所示：

∴∠A=∠GNM=90°，GN=CD=6，

∴∠AME+∠NMG=∠NMG+∠NGM=90°，

∴∠AME=∠MGN，

∴△AEM∽△NMG，

∴====，

∴MN=2AE=4，

由勾股定理得：EM===，

∴GM=2EM=2，

∵AB∥CD，

∴△DMF∽△NGM，

∴=，

解得：MF=，

∴EF=EM+MF=，

∴△EFG的面积=EFGM=．