Question

【题目】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD．

【解析】

（1）连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD，从而得到EH∥FG且EH=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）连接AC，同理可得EF∥AC且EF=AC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，邻边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等且垂直的平行四边形是正方形解答．

（1）如图，连接BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，

∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，

∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD，

∴EH∥FG且EH=FG，

∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）连接AC，

同理可得EF∥AC且EF=AC，

所以，AC=BD时，四边形EFGH为菱形；

AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；

AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．

故答案为：AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD．