Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）求出发2秒后，PQ的长；

（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．

Answer 1

【答案】（1）厘米；（2）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．

【解析】

（1）运动2秒后，根据P、Q运动速度可知道运动的路程BQ和AP长，在Rt△QBP中，利用勾股定理即可求出PQ．

（2）已知点Q在CA边上运动时，若△BCQ成为等腰三角形，可分三种情况讨论，即CQ=BQ，CQ=BC，BC=BQ，得出点Q运动的路程，已知速度即可求出运动时间，在直角三角形中可利用勾股定理求解．

（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm．

∵∠B=90°，

PQ=(cm)；

故答案为：厘米

（2）分三种情况：

①当CQ=BQ时，如图1所示：

则∠C=∠CBQ．

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴BQ是Rt△ABC斜边上的中线

∵AC=

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②当CQ=BC时，如图2所示：

则BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③当BC=BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E，

则BE(cm)

∴CE=cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

综上所述，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，

△BCQ为等腰三角形．