Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD= ，CF= ，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即∠ADC+∠CDB=90°，

∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，

∴∠EAC+∠BAC=90°，

即∠BAE=90°，

∴直线AE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

Rt△ACB中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC=2×4=8，

由勾股定理得：AC= =4 ，

Rt△ADB中，cos∠BAD= = ，

∴ ，

∴AD=6，

∴BD= =2 ，

∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，

∴△DFB∽△AFC，

∴ ，

∴ ，

∴BF= ．

【解析】（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；（2）分别计算AC和BD的长，证明△DFB∽△AFC，列比例式得： ，得出结论．
【考点精析】利用解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．