Question

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．

（1）特例探索
如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a= ，b= 　．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ，b= ．
（2）归纳证明
请你观察（1）中的计算结果，猜想a2 ， b2 ， c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
（3）如图4，在ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）2；2；2；2
（2）

解：猜想：a2+b2=5c2，

如图3，连接EF，

设∠ABP=α，

∴AP=csinα，PB=ccosα，

由（1）同理可得，PF=PA=，PE=PB=，

AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，

∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，

∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，

∴a2+b2=5c2；

（3）

解：如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，

∵点E、G分别是AD，CD的中点，

∴EG∥AC，

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=2，

∴∠EAH=∠FCH，

∵E，F分别是AD，BC的中点，

∴AE=AD，BF=BC，

∴AE=BF=CF=AD=，

∵AE∥BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴EF=AB=3，AP=PF，

在△AEH和△CFH中，

，

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH，

∴EQ，AH分别是△AFE的中线，

由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，

∴AF2=5﹣EF2=16，

∴AF=4．

【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=AB=，再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论．
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=2，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=AD=，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的应用，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解即可以解答此题．