Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2， ），顶点坐标为N（﹣1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）在直线AC上存在一点Q（﹣， ），使△QBM的周长最小．

【解析】分析：（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1， ），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（﹣2， ）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；

（2）先求出抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC==2．设P（﹣1，m），当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；

（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0， ），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标．

本题解析：

（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，

将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，

解得a=﹣，

故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；

（2）∵y=﹣x2﹣x+，

∴x=0时，y=，

∴C（0，）．

y=0时，﹣ x2﹣x+=0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC==2．

设P（﹣1，m），

当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；

当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2；

当PB=PC时， =，解得m=0，

综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，

∵B、B′关于直线AC对称，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

所以此时△QBM的周长最小．

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

设直线MB′的解析式为y=kx+n，

将M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直线MB′的解析式为y=x+．

同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直线AC上存在一点Q（﹣， ），使△QBM的周长最小．