Question

【题目】如图所示，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，E为AB的中点，动点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向C运动，同时，动点Q在线段CD上由点C向点D运动，设运动时间为t（s）．

（1）当t=2时，求△EBP的面积；

（2）若动点Q以与动点P不同的速度运动，经过多少秒，△EBP与△CQP全等？此时点Q的速度是多少？

（3）若动点Q以（2）中的速度从点C出发，动点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动，经过多少秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？

Answer 1

【答案】（1）S△EBP=16cm2；（2）经过秒，△EBP与△CQP全等；此时点Q的速度是cm/s；（3）经过9秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇．

【解析】

（1）直接运用直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半计算即可；
（2）△EBP与△CQP全等，要分两种情形讨论：△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP；先求出t的值，再求点Q的速度；
（3）属于追击问题，根据等量关系：点P运动路程=点Q运动路程+12，列方程求解即可．

（1）当t=2时，BP=2×4cm=8cm

∵E为AB的中点，

∴BE=AB=×8cm=4cm，

∵长方形ABCD

∴∠B=90°

∴S△EBP=BEBP=×4×8=16（cm2）．

（2）设点Q的速度是acm/s，则BP=4t（cm），CQ=at（cm），

∴PC=（12-4t）（cm），

∵△EBP与△CQP全等，∠B=∠C=90°

∴△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP

当△EBP≌△PCQ时，PC=EB，CQ=BP

∴12-4t=4，解得t=2，

∴2a=4×2

∴a=4，与动点Q以与动点P不同的速度运动矛盾．

当△EBP≌△QCP时，CP=BP，CQ=BE

∴12-4t=4t，解得t=，

∴a=4，解得a=（cm/s）；

答：经过秒，△EBP与△CQP全等；此时点Q的速度是cm/s；

（3）设经过x秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边上相遇；

则：4x=12+x，解得：x=9

此时点P运动路程为：4×9=36（cm），∴点P在AB的中点处，

答：经过9秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇．