Question

【题目】如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF CD ，

求证：（1）∠AEF＝90°；

（2） ∠BAE＝∠EAF．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解

【解析】

（1）设正方形的边长为4a，先依据勾股定理求得AE、AF、EF的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明结论；

（2）过点E作EG⊥AF于G，求出EG的长，得出BE=EG，则结论得证．

解：（1）证明：设AB=4a，

∵E为AB的中点，

∴BE=CE=2a，

∵CF= CD，

∴CF=a，DF=3a，

∴AE=a，EF=a，AF==5a，

∵AE2+EF2=(2a)2+(a)2=25a2，AF2=25a2，

∴AE2+EF2=AF2

∴∠AEF=90°；

（2）过点E作EG⊥AF于G，

∵S△AEF=×2a×a=×5a×EG，

∴EG=2a，

∴BE=EG，

又∵∠B=∠AGE=90°，

∴∠BAE=∠EAF．