Question

【题目】如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．

（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；

（2）若AB＝6，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）根据题意补全图形，证明∠AEC＝90°，，进而证明∠ADF＝90°，问题得证；

（2）连接，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直角先求出DC，再根据30°直角三角形性质即可求出的长．

解：（1）如图，

依题意补全图形．

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，

∴，

∵AD过圆心O，

∴∠AEC＝90°，

∵DF∥BC，

∴∠ADF＝90°，

∴DF与⊙O相切．

（2）解：连接DC，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝6，

∠BAC＝60°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAC＝30°，

∵∠ADF＝90°，

∴∠F=60°，

∵AD是直径，

∴∠ACD＝90°，

∴，

∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，

∴．