Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过B点作BF∥AC，过C点作CF∥BD，BF与CF相交于点F．

（1）求证：四边形BFCO是菱形；

（2）连接OF、DF，若AB＝2，tan∠OFD＝，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明四边形OBFC是平行四边形，然后根据矩形的性质可知OB＝OC，从而得证．

（2）连接FO并延长交AD于H，交BC于K，根据矩形、菱形的判定与性质可求出AB与BC的长度，根据勾股定理可求出AC的值．

解：（1）∵BF∥AC，CF∥BD，

∴四边形OBFC是平行四边形，

∵矩形ABCD，

∴

∴OB＝OC，

∴四边形OBFC是菱形．

（2）如图，连接FO并延长交AD于H，交BC于K，

∵菱形OBFC，

∴∠BKO＝90°，

∵矩形ABCD，

∴∠DAB＝∠ABC＝90°，OA＝OD，

∴四边形ABKH是矩形，

∴∠DHF＝90°，HK＝AB＝2，

∴H是AD中点，

∵O是BD中点，

∴OH＝，

∴FK＝OK＝OH＝1，

∴HF＝3，

∵tan∠OFD＝，

∴HD＝AH＝2，

∴BC＝AD＝4，

由勾股定理得：．