Question

【题目】如图：一次函数y=kx+b的图像交x轴正半轴于点A、y轴正半轴于点B，且OA=OB=1．以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在反比例函数y=图像上．

（1）求一次函数的关系式，并判断点C是否在反比例函数y=图像上；

（2）在直线AB上找一点P，使PC+PD的值最小，并求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点C在反比例函数图像上；（2）P（，）

【解析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，过D作DE⊥x轴于E,证△OAB≌△EDA,得出点D坐标，同理可求出C点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，将点C代入反比例函数解析式中验证即可得出点C在反比例函数的图象上；

（2）延长DA交y轴于F，根据△OAB是等腰直角三角形可证D与F关于直线AB对称，连接CF与直线AB的交点即为点P，利用待定系数法求出直线CF的解析式，即可得出答案.

（1）∵OA=OB=1，

∴A(1,0)，B（0,1），

∴一次函数关系式为y=－x+1，

过D作DE⊥x轴于E,

∵∠B=∠AED=90°, ∠BAD=90°,

∴∠OBA+∠OAB=90°, ∠DAE+∠OAB=90°,

∴∠OBA=∠DAE,

又∵AB=DA,

∴△OAB≌△EDA,

∴AE=OB=1,DE=OA=1,

∴OE=2,

∴D(2,1)

同理可得，C（1,2）

把D(2,1)代入y=中，则m＝2，

∴y=，

当x＝1时，y＝2，

∴点C在反比例函数图像上；

（2）延长DA交y轴于F，

∵∠BAD=90°,

∴∠BAF=90°,

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°,

∴△FAB是等腰直角三角形，

∴AF=AB=AD,

∴AB垂直平分DF，

即D与F关于直线AB对称，

连接CF交AB于P，则点P即为所求.

∵C（1，2）、F（0，-1），

∴直线CF的函数的关系式为y=3x-1，

解方程组 得，

∴P（，）.