Question

【题目】如图1，已知AB＝8，直线l与AB平行，且l与AB的距离为4，P是l上的动点，过点P作PC ⊥AB，垂足为C，点C不与A，B重合，过A，C，P三点作⊙O.

（1）若⊙O与线段PB交于点D，∠PAD＝22.5°，则∠APB等于多少度？

（2）如图2，⊙O与线段PB的一个公共点为D，一条直径垂直AB于点E，且与AD交于点M.

①若ME＝，求AE的长；

②当ME的长度最大时，判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）67.5°；（2）①或，②当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．

【解析】（1）利用圆周角定理的推论，由∠ACP=90°，可证AP是⊙O的直径，即可得出∠PDA=90°，利用三角形内角和公式即可得出答案；

（2）①先证△MEA∽△BCP，再由相似的性质得出 ＝，即可求出AE的长；

②设AE＝x，由①中比例式 ＝建立关于x的二次函数，利用最值即可求出ME的最大长，再利用三角形中位线定理即可得出结论.

（1）∵PC⊥AB，

∴∠ACP=90°，

∴AP是⊙O的直径，

∴∠PDA=90°，

∴∠APD=90°-∠PAD=90°-22.5°=67.5°.

（2）①连接AP，由PC ⊥AB得AP是直径，从而AD⊥PB，∠BAD+∠B＝90°，

又∠BPC+∠B＝90°，

即∠EAM＝∠CPB，

∴△MEA∽△BCP

∵ OE⊥AB，又∵OA＝OC，

∴AE＝EC．

设AE＝x，则BC＝8－2x．

由 ＝，得，

化简得25x2－100x+64＝0，

解得x1=，x2=，

即AE＝或

②当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．

由①设AE＝x，则BC＝8－2x．

由 ＝,可得ME＝－（x－2）2＋2．

∵ x＞0，8－2x＞0，

∴ 0＜x＜4．

又∵ －＜0，

∴当x＝2时，ME的长度最大为2．

当ME＝2时，AE＝EC＝2，

即AC＝4；BC＝4，

由∠ACP=90°得AP为直径；

又AC＝PC＝BC＝4，

得∠APB=45°+45°＝90°

直线PB与该圆相切