Question

【题目】如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．

（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；

（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，当AE=3时，求四边形BEDF的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)18.

【解析】

(1)由BE、DF均为角平分线可得∠EBD=∠FDB，则BE∥DF，再由题意可知BF∥DE，故利用两组对边分别平行可证明；

(2)菱形的四边相等，则∠ABE=∠EBD=∠EDB，又由∠ABD+∠EDB=90可求解出∠ABE的度数；

(3)分别求解出AB和ED的长度，利用菱形面积公式计算即可.

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AB∥CD，BC∥AD，∠A=90°=∠ABC

∵AB∥CD

∴∠ABD=∠BDC

∵BE，DF分别平分∠ABD，∠BDC

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠BDC

∴∠EBD=∠FDB

∴BE∥DF且AD∥BC

∴四边形BEDF为平行四边形

（2）若四边形BEDF是菱形

∴∠CBD=∠DBE，且∠DBE=∠ABE

∴∠CBD=∠DBE=∠ABE

∵∠CBD+∠DBE+∠ABE=90°

∴∠ABE=30°

∴当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形

（3）∵∠A=90°，∠ABE=30°，AE=3

∴BE=6，AB=AE=3

∵四边形BEDF是菱形

∴BE=DE=6

∴四边形BEDF的面积=DE×AB=18