Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在D′处．

（1）求证：△AFD′≌△CFB；

（2）求线段BF的长度；

（3）试求出重叠部分△AFC的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF=3；（3）10.

【解析】

(1)由翻折的性质可得AD’=CB，再由对顶角可得∠AFD’=∠CFB，再∠D’=∠B=90°，则可证两三角形全等；

(2)设BF为x，则由三角形全等可得CF=AF=8-x，题干已知BC=4，故利用勾股定理BC2+FB2=CF2可求解；

(3)求解出AF长度，以AF为底，BC长度为高，利用三角形面积公式即可求解.

解：（1）由折叠可得，∠D'=∠D=∠B=90°，AD'=AD=BC，

在△AD'F和△CBF中，

∵∠AFD’=∠CFB，∠D’=∠B=90°，AD’=CB，

∴△AFD≌△CFB（AAS）；

（2）由折叠可得，∠ACF=∠ACD，

∵CD∥AB，

∴∠CAF=∠ACD，

∴∠ACF=∠CAF，

∴AF=CF，

设BF=x，则AF=CF=8﹣x，

∵∠B=90°，

∴在Rt△BCF中，BF2+CB2=CF2，

即42+x2=（8﹣x）2，

解得x=3，

∴BF=3；

（3）∵AF=8﹣3=5，BC=4，CB⊥AF，

∴S△ACF=AF×BC=×5×4=10．