Question

【题目】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．

问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长度的一半即可证明；

(2)延长EG、AD交于P点，连接CE、CP，先证明△EGF≌△DGP，再证明△BEC≌△DPC，从而得到△ECP是等腰直角三角形，由△EGF≌△DGP可得G是EP中点，故可证明结论仍然成立.

证明：（1）∵在Rt△DEF中，EG是斜边上的中线

∴DF=2EG

∵在Rt△DCF中，CG是斜边上的中线

∴DF=2CG

∴EG=CG

（2）如图2

延长EG，AD交于P点，连接CE，CP

∵四边形ABCD是正方形

∴BC=CD，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=45°

∵EF⊥AB

∴∠ABD=∠EFB=45°

∴EF=BE

∵AD⊥AB，EF⊥AB

∴EF∥AD

∴∠DPE=∠PEF，且DG=GF，∠EGF=DGP

∴△EGF≌△DGP

∴EG=GP，EF=DP

∴BE=DP且BC=CD，∠EBC=∠PDC=90°

∴△BEC≌△DPC

∴EC=PC，∠ECB=∠ECP

∵∠ECB+∠ECD=90°

∴∠DCP+∠ECD=90°

∴∠ECP=90°且EC=CP

∴△ECP是等腰直角三角形，且EG=GP

∴CG⊥EP，CG=EG．