Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接OC、BC、CE．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若圆O的直径等于2，填空：

①当AD=　 　时，四边形OADC是正方形；

②当AD=　 　时，四边形OECB是菱形．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）①1；②．

【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；
（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；
②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．

试题解析：解：∵AM⊥AB，

∴∠OAD=90°．

∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OCD=∠OAD=90°．

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）①∵当四边形OADC是正方形，

∴AO=AD=1．

故答案为：1．

②∵四边形OECB是菱形，

∴OE=CE．

又∵OC=OE，

∴OC=OE=CE．

∴∠CEO=60°．

∵CE∥AB，

∴∠AOD=60°．

在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，

∴AD=．

故答案为：．