Question

【题目】如图：在△ABC中，∠BAC =，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形.

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】分析：根据三角形内角和定理求出∠B=∠CAD，根据角平分线性质求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，证△ACG≌△FCG，推出∠CAD=∠CFG，得出∠B=∠CFG，推出GF∥AB，AD∥EF，得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可．

详解：证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），

∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，

∵△ACG和△FCG中

∴△ACG≌△FCG，

∴∠CAD=∠CFG，

∵∠B=∠CAD，

∴∠B=∠CFG，

∴GF∥AB，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴AD∥EF，

即AG∥EF，AE∥GF，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．