Question

【题目】如图22，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。

【1】若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1＋S2=2，求的值：

【2】若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?

Answer 1

【答案】

【1】∵点E、F在函数的图象上，

∴设E（， ），F（，），＞0，＞0，

∴S1=，S2=。∵S1＋S2=2，∴ 。∴。…………4分

【2】∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E(，2)， F(4，)。∴BE=4－，BF=2－。

∴S△BEF= ，S△OCF= ，S矩形OABC=2×4=8，

∴S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF= 8－()－=。

∴当=4时，S四边形OAEF=5。∴AE=2。

∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5。…………………10分

【解析】（1）设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2= k，利用S1+S2=2即可求出k；

（2）设E(，2)，F(4，)，利用S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=- (k-4)2+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S四边形OAEF=5，此时AE=2．