Question

【题目】如图，两个30°的角BAC与角MON，顶点A在射线ON上某处，现保持角MON不动，将角BAC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转，边AB、AC分别与边OM交于点P、Q，当AC∥OM时，交点Q消失旋转结束。设运动时间为t秒（t>0）.

（1）当t=2秒时，OP:PQ= ；

（2）在运动的过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，请利用备用图，直接写出此时的运动时间；

（3）在（2）中判断△OAQ的形状，并选择其中的一个说明理由.

Answer 1

【答案】（1）2:1；

（2）当t=3s或6s时，△APQ为等腰三角形；

（3）△OAQ为等腰三角形，理由见解析.

【解析】

（1）当t=2秒时，∠PAO=30°，∠PQA=90°,根据等角对等边定理和30度角所对直角边等于斜边的一半可得出结论；

（2）先求出t的取值范围，然后分三种情况讨论，当△APQ为等腰三角形时∠PAO的大小，并进而得到t的值；

（3）由（2）得到t的值，代入求得△OAQ的内角度数，从而判断△OAQ的形状。

解：（1）如图1，

当t=2秒时，∠PAO=30°，

∵∠MON=∠BAC=30°

∴∠PAO=∠MON, ∠PQA=90°,

∴OP=AP,PQ=AP，

∴OP:PQ= 2:1；

故答案为：2:1；

（2）当AC∥OM时，∠NAC=∠O=，

∴∠OAB=

∴t=

∴0＜t＜8，

分三种情况： AP=AQ 、AP=PQ和QP=QA，

①当AP=AQ时，

∠APQ=∠AQP=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

∴t=；

②当AP=PQ时，

∠APQ=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

∴t=；

③当QP=QA时，

∠APQ=∠PAQ=

∴∠PAO=∠APQ-∠O=

即t=0s(舍去)

综上所述，当t=3s或6s时，△APQ为等腰三角形；

（3）当t=3s或6s时，△OAQ为等腰三角形,

理由是：

当t=3s时，∠OAP=45°，∠PAQ=30°，

∴∠OAQ=75°，

又∠AQP=75°，

∴OA=OQ,即△APQ为等腰三角形.

当t=6s时，∠OAP=90°，∠PAQ=30°，

∴∠OAQ=120°，

又∠AOQ=30°，

∴∠OQA=30°

∴OA=AQ,即△APQ为等腰三角形.