Question

【题目】如果一个正整数能写成的形式（其中a，b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22＋3×12，31＝22＋3×32。

（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数。

（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据一个正整数能写成a2+3b2的形式，则称之为婆罗摩笈多数，将28和217都写成a2+3b2的形式即可证明；

（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，所以xy＝（a2+3b2）（c2+3d2），然后根据乘法公式化简，最后分解因式即可．

证明：（1）∵28＝12+3×32＝28，

217＝132+3×42＝217，

∴28和217都是婆罗摩笈多数．

（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，

xy＝（a2+3b2）（c2+3d2）

＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2

＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2

＝（ac+3bd）2+3（ad﹣bc）2

因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．