Question

【题目】如图．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为8 ，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=OC=BO=OD．

∴四边形OCED是菱形

（2）解：∵∠ACB=30°，

∴∠DCO=90°﹣30°=60°．

又∵OD=OC，

∴△OCD是等边三角形．

过D作DF⊥OC于F，则CF= OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．

在Rt△DFC中，tan60°= ，

∴DF= x．

∴OCDF=8 ．

∴x=2．

∴AC=4×2=8．

【解析】（1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质和解直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．