Question

【题目】阅读材料,在平面直角坐标系中,已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A,B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离,如图,过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1﹣x2|，BQ=|y1﹣y2|,∴AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为：

（1）AB= ．

（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1,﹣3），B（﹣2,1）之间的距离为 ；

（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值．

Answer 1

【答案】(1);(2)5；（3）

【解析】分析:(1)通过作铅垂线构造直角三角形,利用勾股定理进行求解即可,

(2)根据(1)结论代入两点坐标计算即可,(3) 代数式+的最小值表示在x轴上找一点P（x,0）,到A（0,2），B（3,1）的距离之和最小,可以通过作对称转化为两点间线段距离最短,再利用两点之间距离公式计算即可求解.

详解:（1）∵AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2,

∴AB=,故答案为．

（2）∵A（1,﹣3）,B（﹣2,1）,

∴AB==5,故答案为5．

（3）代数式+的最小值表示在x轴上找一点P（x,0）,到A（0,2），B（3,1）的距离之和最小,如图,

作A关于x轴的对称点A′,连接BA′与x轴的交点即为所求的点P．此时PA+PB最小,

∵A′（0,﹣2）,B（3,1）,

∴PA+PB=PA′+PB=BA′==3

∴代数式+的最小值为3．