Question

【题目】综合题
（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB、AD、DC之间的等量关系为；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）AD=AB+DC
（2）AB=AF+CF，

证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，

∴∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∴AB=CG=AF+CF；

（3）AB= （CF+DF），

证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵AB∥CF，

∴△AEB∽△GEC，

∴ = = ，即AB= CG，

∵AB∥CF，

∴∠A=∠G，

∵∠EDF=∠BAE，

∴∠FDG=∠G，

∴FD=FG，

∴AB= CG= （CF+DF）．

【解析】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，

∵AB∥DC，

∴∠BAF=∠F，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

在△AEB和△FEC中，

，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠DAF=∠BAF，

∴∠DAF=∠F，

∴DF=AD，

∴AD=DC+CF=DC+AB，

所以答案是：AD=AB+DC；

【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．