Question

【题目】在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．

（1）求证：∠ACN=∠AMC；

（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：；

（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，证明见解析．

【解析】

（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；
（2）过点N作NE⊥AC于E，由“AAS”可证△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N作NE⊥AC于E，由“SAS”可证△NEA≌△CDP，可得AN=CP．

（1）∵∠BAC=45°，

∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．

∵∠NCM=135°，

∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC；

（2）过点N作NE⊥AC于E，

∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN，

∴△NEC≌△CDM（AAS），

∴NE=CD，CE=DM；

∵S1ACNE，S2ABCD，

∴；

（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，

理由如下：过点N作NE⊥AC于E，

由（2）可得NE=CD，CE=DM．

∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，

∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，

∴AE=BD+BP=DP．

∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，

∴△NEA≌△CDP（SAS），

∴AN=PC．