Question

【题目】在平面直角坐标系中，一次函数yx+4的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O即停止运动．其中A、Q两点关于点P对称，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为秒．如图①．

（1）当t=2秒时，OQ的长度为　　　　 ；

（2）设MN、PN分别与直线yx+4交于点C、D，求证：MC=NC；

（3）在运动过程中，设正方形PQMN的对角线交于点E，MP与QD交于点F，如图2，求OF+EN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）解方程得到OA=6，由t=2，于是得到结论；
（2）根据AP=PQ=t，得到OQ=6-2t，根据正方形的性质得到PQ=QM=MN=PN=t，求得M（6-2t，t），N（6-t，t），C（6-t，t），求得CM=（6-t）-（6-2t）=t，CN=（6-t）-（6-t）=t，于是得到结论；
（3）作矩形NEFK，则EN=FK，推出当O，F，K三点共线时，OF+EN=OF+FK的值最小，如图，作OH⊥QN于H，解直角三角形即可得到结论．

（1）在yx+4中，令y=0，得x=6，∴OA=6．

∵t=2，∴AP=PQ=2，

∴OQ=6﹣2﹣2=2．

故答案为：2；

（2）∵AP=PQ=t，∴OQ=6﹣2t．

∵四边形PQMN是正方形，

∴PQ=QM=MN=PN=t，

∴M（6﹣2t，t），N（6﹣t，t），C（6t，t），

∴CM=（6t）﹣（6﹣2t）t，

CN=（6﹣t）﹣（6t）t，

∴CM=CN；

（3）作矩形NEFK，则EN=FK．

∵OF+EN=OF+FK，

∴当O，F，K三点共线时，OF+EN=OF+FK的值最小，如图，

作OH⊥QN于H，

在等腰直角三角形PQN中，∵PQ=t，∴QNt，

∴HN=QN﹣QHt﹣（t﹣3）=3，

∴OF+EN的最小值为：HE+EN=HN=3．