Question

【题目】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，AC平分∠BCD.

(1)求证：△ABD是等边三角形；

(2)若BD=6cm，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】【试题分析】（1）因为AC平分∠BCD，∠BCD=120°, 根据角平分线的定义得：∠ACD=∠ACB=60°. 根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACD=∠ABD, ∠ACB=∠ADB , ∠ABD=∠ADB=60°.根据三个角是60度的三角形是等边三角形得，△ABD是等边三角形.

(2)作直径DE,连结BE ，由于△ABD是等边三角形,则∠BAD=60°同弧所对的圆周角相等，得∠BED=∠BAD=60°.因为DE是直径,根据直径所对的圆周角是直角得，∠EBD=90°.

则∠EDB=30°，30度所对的直角边是斜边的一半，得DE=2BE .

设EB=x,则ED=2x,根据勾股定理得，（2x）2-x2=62.

解得： ，即.

【试题解析】

（1）∵AC平分∠BCD，∠BCD=120° ,

∴∠ACD=∠ACB=60°.

∵∠ACD=∠ABD, ∠ACB=∠ADB .

∴∠ABD=∠ADB=60°.

∴△ABD是等边三角形.

(2)作直径DE,连结BE

∵△ABD是等边三角形,

∴∠BAD=60°

∴∠BED=∠BAD=60°

∵DE是直径,

∴∠EBD=90°.

∴∠EDB=30°.

∴DE=2BE .

设EB=x,则ED=2x,

∴（2x）2-x2=62.

∵x＞0.

∴.

∴

即.