Question

【题目】如图，E，F是正方形ABCD的边CD上两个动点，满足DE＝CF．连接AE交BD于点I，连接BF交CI于点H，G为BC边上的中点．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是__________．

Answer 1

【答案】-2

【解析】

易证ADEBCF，得∠DAE=∠CBF，由A，C关于BD轴对称，得∠DAE=∠DCI，从而得∠CBF=∠DCI，进而得∠BHC=90°，结合G为BC边上的中点，得GH=2，连接DG，得DG=，根据三角形三边长关系，即可得到答案．

∵在正方形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCF=90°，

又∵DE＝CF，

∴ADEBCF（ASA），

∴∠DAE=∠CBF，

∵A，C关于BD轴对称，

∴∠DAE=∠DCI，

∴∠CBF=∠DCI，

∴∠DCI+∠BCH=∠CBF+∠BCH=90°，

∴∠BHC=180°-(∠CBF+∠BCH)=180°-90°=90°，

∵G为BC边上的中点，

∴GH=BC=2，

连接DG，则DG=，

∵在DHG中，DH＞DG-GH，当且进当D，H，G三点共线时，DH=DG-GH=-2，

∴线段DH长度的最小值是：-2．

故答案是：-2．