Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）证明见解析；（3）存在，点N的坐标为（-5，）、（3，）、（-3，-）．

【解析】

试题分析：（1）先确定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，D（0，2），然后利用交点式求抛物线的解析式；

（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，接着计算

，加上∠DAE=∠DCB，则可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°，再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线

（3）利用配方得到y=-（x+1）2+，则M（-1，），且B（-4，0），D（0，2），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．

试题解析：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（-4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），

把D（0，2）代入得a4（-2）=2，解得a=-，

∴抛物线的解析式为y=-（x+4）（x-2）=-x2-x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴，，

∴，

而∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD为⊙P的直径，

∴ED是⊙P的切线；

（3）存在．

∵y=-x2-x+2=-（x+1）2+

∴M（-1，），

而B（-4，0），D（0，2），

如图2，

当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M（-1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（-5，）；

当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；

当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3（-3，-），

综上所述，点N的坐标为（-5，）、（3，）、（-3，-）．