Question

【题目】如图, 在平面直角坐标系中,点A，B分别是轴正半轴, 轴正半轴上两动点, ， ，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线交轴于点D，P为顶点，PM⊥轴于点M．

（1）求， 的长(结果均用含的代数式表示)．

（2）当时,求该抛物线的表达式．

（3）在点在整个运动过程中．

①若存在是等腰三角形,请求出所有满足条件的的值．

②当点A关于直线DP的对称点恰好落在抛物线的图象上时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）OD长为k，PM的长为k+3；

（2）该抛物线的表达式为；

（3）①满足条件的的值为， 6，或

②的值为.

【解析】（1）点D在y=﹣x2+3x+k上，且在y轴上，即y=0求出点D坐标，根据抛物线顶点公式，求出即可；

（2）先用k表示出相关的点的坐标，根据PM=BM建立方程即可；

（3）①先用k表示出相关的点的坐标，根据△ADP是等腰三角形，分三种情况，AD=AP，DA=DP，PA=PD计算；

②由点P，D坐标求出直线PD解析式，根据PD⊥AA′，且A（0，2k），确定出AA′解析式，继而求出交点，再求出A′的坐标即可．

解：（1）把x=0，代入，得．∴．

∵，∴．

（2）∵，∴, ．

又∵， ，∴，解得．

∴该抛物线的表达式为．

（3）①

Ⅰ）当点P在矩形AOBC外部时

如图所示，

过P作PK⊥OA于点K，当AD=AP时,

∵AD=AO-DO=2k-k=k，

∴AD=AP =k，KA=KO-AO=PM-AO=

KP=OM=2，在Rt△KAP中，

∴，解得．

Ⅱ）当点P在矩形AOBC内部时

当PD=AP时,如图所示，

过P作PH⊥OA于H，

AD=k，HD=，

又∵HO=PM= ，

∴，解得．

当DP=DA时,如图所示，

过D作PQ⊥PM于Q，

PQ=PM-QM=PM-OD=

DQ=OM=2，DP=DA=k，

在Rt△DQP中， ．

∴．

②．

“点睛”此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的确定，平面坐标系中求线段的长，等腰三角形的性质，确定出函数解析式是解本题的关键. 解（3）是本题的难点.