Question

【题目】如图，直线y=2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（a，1）是反比例函数y= （x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），

∴在直线y=2x+3中，当x=1时，y=2+3=5，

∴点B的坐标为（1，5），

又∵点B（1，5）在反比例函数y= 上，

∴k=1×5=5，

∴反比例函数的解析式为：y= ；

（2）解：将点D（a，1）代入y= ，得：a=5，

∴点D坐标为（5，1）

设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），

过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y=kx+b，

可得： ，

解得： ，

∴直线BD′的解析式为：y=﹣ x+ ，

根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，

当y=0时，得：﹣ x+ =0，解得：x= ，

故点P的坐标为（ ，0）．

【解析】（1）依据题意可得到点B的横坐标，然后可将点B的横坐标代入直线解析式可得到点B的纵坐标，最后，将点B的坐标代入反例函数的解析式求解即可；
（2）将y=1代入反比例函数解析式可求出点D的坐标，作点D关于x的轴的对称点D′，连接BD′，直线BD′与x轴的交点即为所求点P.