Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确的结论是（ ）

A.③④
B.②④
C.②③
D.①④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，所以①错误；

∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，

∴x=1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1，

∴b=2a，

∵x=﹣1时，y=2，

即a﹣b+c=2，

∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；

∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），

即x=﹣1时，y有最大值2，

∴抛物线与直线y=2只有一个公共点，

∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．

故选A．

【考点精析】本题主要考查了二次函数图象以及系数a、b、c的关系和抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．