Question

【题目】如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．

（1）求抛物线的解析式．

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x （2）m=4 点D的坐标为（2，﹣2） （3）点P的坐标为（）和（）

【解析】

试题（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可。

（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可。

（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标。　

解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣3x。

（2）设直线OB的解析式为y=k1x（ k1≠0），

由点B（4，4）得4=4 k1，解得k1=1。

∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°。

∵B（4，4），∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4，0）。∴m=4。

∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4。

解方程组，解得：。

∴点D的坐标为（2，﹣2）。

（3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0），

∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）。

设直线A′B的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）。

∴4k2+3=4，解得 k2=。

∴直线A′B的解析式为y=x+3。

∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上。

设点N（n， n+3），

又点N在抛物线y=x2﹣3x上，

∴n+3=n2﹣3n，解得 n1=，n2=4（不合题意，舍去）。

∴点N的坐标为（）。

如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则 N1 （），B1（4，﹣4）。

∴O、D、B1都在直线y=﹣x上。

∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。∴P1为O N1的中点。

∴。∴点P1的坐标为（）。

将△P1OD沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，

∴此点坐标为：（）。

综上所述，点P的坐标为（）和（）。