Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠ACB=30° ，AD平分∠BAC， BD= ，点P为线段AC上的一个动点

(1)求AC的长

(2)作△ABC中∠ACB的角平分线CH，求BH的长

(3)若点E在直线1上，且在C点的左侧，PE=PC， AP为多少时，△ACE为等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）6；（2）；（3）或0或4.

【解析】

（1）易得∠BAD=30°，∴AD=2BD，再由勾股定理求出AB，最后再由30°的直角边是斜边的一半可得AC=2AB.

（2）过H点作HG⊥AC于点G，设BH=x，在Rt△AHG中用勾股定理建立方程求解；

（3）分三种情况讨论：①AC=EC，②AC=AE，③AE=EC，分别根据题意找出P点的位置，采用（2）的方法建立方程求解.

解：（1）∵∠ABC=90° ，∠ACB=30°

∴∠BAC=60°，

又∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=30°，

在Rt△ABD中，BD=

∴AD=2BD=

在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AC=2AB=6

（2）如图所示，过H点作HG⊥AC于点G，

在Rt△ABC中，

∵CH平分∠BCA，∴∠HCB=∠HCG

在△HCB和△HCG中

∴△HCB≌△HCG（AAS）

∴BH=HG，CG=BC

设BH=x，则HG=x，AH=3-x，AG=

在Rt△AHG中，

AG+HG=AH，即

解得

∴BH的长为

（3）△ACE为等腰三角形，①若AC=EC，如图所示，由PE=PC可知P点在EC的中垂线上，则作EC的中垂线与AC的交点即为P点，

∵PF为EC的中垂线，∴FC=，

在Rt△PCF中，∵∠C=30°，∴PC=2PF

设PF=a，则PC=2a，

有勾股定理得，解得

∴PC=，∴

②若AC=AE，如图所示，此时P点与A重合，∴AP=0

③若AE=EC，如图所示，由PE=PC可知P点在CE的中垂线上，所以作EC的中垂线与AC的交点即为P点，

设AE=EC=x，则BE=

在Rt△ABE中，由勾股定理得，

，解得

∴EC=

又∵PM垂直平分EC，∴MC=

在Rt△PMC中，∠C=30°，

设PM=y，则PC=2y，由勾股定理得，解得

∴PC=2，此时AP=6-2=4

综上，当AP为或0或4时，△ACE为等腰三角形