Question

【题目】如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．
（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a= ，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，

∴BD=CD= BC=6cm，

∵a=2，

∴BP=2tcm，DQ=tcm，

∴BQ=BD﹣QD=6﹣t（cm），

∵△BPQ∽△BDA，

∴ ，

即 ，

解得：t=

（2）解：①过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，

∴PB=CM，

∴PB=PQ，

∴BE= BQ= （6﹣t）cm，

∵a= ，

∴PB= tcm，

∵AD⊥BC，

∴PE∥AD，

∴PB：AB=BE：BD，

即 ，

解得：t= ，

∴PQ=PB= t= （cm）；

②不存在．理由如下：

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．

若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，

∴∠PCQ=∠CPM，

∴∠CPM=∠PCM，

∴PM=CM，

∴四边形PQCM是菱形，

∴PQ=CQ，PM∥CQ，

∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，

∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），

∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB﹣PB=10﹣at（cm），

，

化简得②：6at+5t=30③，

把①代入③得，t=﹣ ，

∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上

【解析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程 ，解此方程即可求得答案；②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．