Question

【题目】阅读下列材料： 如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 如：圆心在P（2，﹣1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=25

（1）填空： ①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为；
②以B（﹣1，﹣2）为圆心， 为半径的圆的方程为 ．
（2）根据以上材料解决下列问题： 如图2，以B（﹣6，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC= ．

①连接EC，证明EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3
（2）解：①证明：∵BD⊥OC，

∴CD=OD，

∴BE垂直平分OC，

∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

∵BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO，

∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，

∴∠BOE=∠BCE=90°，

∴BC⊥CE，

∴EC是⊙B的切线；

②存在．

∵∠BOE=∠BCE=90°，

∴点C和点O偶在以BE为直径的圆上，

∴当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，

∵B点坐标为（﹣6，0），

∴OB=6，

∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠AOC，

∴sin∠BEO=sin∠AOC= ，

在Rt△BOE中，sin∠BEO= ，

∴ = ，

∴BE=10，

∴OE= =8，

∴E点坐标为（0，8），

∴线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，

∴以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程为（x+3）2+（y﹣4）2=25．

【解析】（1）解：①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=1； ②以B（﹣1，﹣2）为圆心， 为半径的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=3；
故答案为（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；
（1）根据阅读材料中的定义求解；（2）①根据垂径定理由BD⊥OC得到CD=OD，则BE垂直平分OC，再根据线段垂直平分线的性质得EO=EC，则∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得到EC是⊙B的切线；②由∠BOE=∠BCE=90°，根据圆周角定理得点C和点O偶在以BE为直径的圆上，即当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，则sin∠BOE=sin∠AOC= ，在Rt△BOE中，利用正弦的定义计算出BE=10，利用勾股定理计算出OE=8，则E点坐标为（0，8），于是得到线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，然后写出以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程．