Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）判断直线BE与抛物线交点的个数；
（3）求证：CD垂直平分BE；
（4）若P是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得△PBE是等腰直角三角形，且∠PEB=90°？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B（﹣2，m）在直线上y=﹣2x﹣1上，

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=3，

∴B（﹣2，3）．

∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴点A的坐标为（4，0）．

设所求的抛物线对应函数关系式为y=ax（x﹣4），

将点B（﹣2，3）代入上式，

3=﹣2a×（﹣2﹣4），解得：a= ，

∴所求的抛物线对应的函数关系式为y= x（x﹣4）= x2﹣x

（2）

解：将y=﹣2x﹣1代入y= x2﹣x，得： x2﹣x=﹣2x﹣1，

整理得：x2+4x+4=0，

∴△=42﹣4×1×4=0，

∴直线BE与抛物线只有一个交点

（3）

解：证明：当x=2时，y=﹣2x﹣1=﹣5，

∴E（2，﹣5）．

∵C（2，0），B（﹣2，3），

∴CE=0﹣（﹣5）=5，CB= =5，

∴CE=CB．

∵D（0，﹣1），B（﹣2，3），E（2，﹣5），

∴BD= =2 ，DE= =2 ，

∴BD=DE，

∴CD垂直平分BE

（4）

解：不存在，理由如下：

过点E作ME⊥BE交x轴于点M，过点B作BN⊥直线x=2于点N，如图所示．

∵B（﹣2，3），E（2，﹣5），

∴BN=2﹣（﹣2）=4，EN=3﹣（﹣5）=8，CE=0﹣（﹣5）=5．

∵∠BEN+∠EBN=90°，∠BEN+∠MEC=90°，

∴∠EBN=∠MEC，

∴△EBN∽△MEC，

∴ ，

∴MC=10，

∴M（12，0）．

设直线EM的函数关系式为y=kx+b（k≠0），

将E（2，﹣5）、M（12，0）代入y=kx+b，

，解得： ，

∴直线EM的函数关系式为y= x﹣6．

将y= x﹣6代入y= x2﹣x，得： x2﹣x= x﹣6，

整理得：x2﹣6x+24=0，

∴△=（﹣6）2﹣4×1×24=﹣60＜0，

∴直线EM与抛物线无交点，

∴不存在满足条件的点P．

【解析】（1）根据点B的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标，根据点O的坐标结合抛物线的对称轴即可找出点A的坐标，设抛物线的函数关系式为y=ax（x﹣4），代入点B的坐标求出a值即可；（2）将直线BE的函数关系式代入抛物线的函数关系式中可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=0，即可得出直线BE与抛物线只有一个交点；（3）根据点E的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点E的坐标，结合点B、C的坐标利用两点间的距离公式，即可得出CE=CB，再根据点B、D、E的坐标利用两点间的距离公式，即可得出BD=DE，根据等腰三角形的三线合一即可证出CD垂直平分BE；（4）过点E作ME⊥BE交x轴于点M，过点B作BN⊥直线x=2于点N，则△EBN∽△MEC，根据相似三角形的性质即可找出点M的坐标，由点E、M的坐标利用待定系数法可求出直线EM的函数关系式，将其代入抛物线的函数关系式中可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=﹣60＜0，即可得出直线EM与抛物线无交点，由此得出不存在满足条件的点P．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．