Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AB=4 ，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（ ）
A.随点C的运动而变化，最大值为4
B.随点C的运动而变化，最大值为4
C.随点C的运动而变化，最小值为2
D.随点C的运动而变化，但无最值

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如图，连接OC， ∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，CD=BD，
在△OCD和△OBD中， ，
∴△OCD≌△OBD（SSS），
∴∠BDO=∠CDO= ∠BDC=30°，
过点O作OF⊥BD于F，

在Rt△ODF中，∠BDO=30°，
∴OD=2OF，
当点C在运动的过程中，OD要最大，即OF最大，而OF最大=OB，
∴OD最大=2OF最大=2OB=AB=4 ．
故选B．
方法二、如图2，连接OC，
将△OCD绕点C顺时针旋转60°，则点D落在点B处，OD和⊙O相交于H，
连接OH，CH，

同方法一，得出∠ODC=30°，
∴∠CBH=30°，
∴∠COH=60°，
∴△COH是等边三角形，
∴HC=OC，∠OCH=60°，
∵△BCD是等边三角形，
∴CD=BC，∠BCD=60°，
∴∠OCD=∠HCB，
在△OCD和△HCB中， ，
∴△OCD≌△HCB（SAS），
∴OD=BH，
∵BH是⊙O的弦，
∴BH最大=AB=4 ，
即：OD最大=4 ，
故选B．