【题目】如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4 ，0），函数y= （x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E．
（1）求k的值；
（2）若第一象限的双曲线y= 与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围．

参考答案：

【答案】
（1）解：过点B作BM⊥OA于点M，如图所示．

∵点A（4 ，0），

∴OA=4 ，

又∵△ABO为等边三角形，

∴OM= OA=2 ，BM= OA=6．

∴点B的坐标为（2 ，6）．

∵点D为线段AB的中点，

∴点D的坐标为（ ， ）=（3 ，3）．

∵点D为函数y= （x＞0，k为常数）的图象上一点，

∴有3= ，解得：k=9


（2）解：设过点B的反比例函数的解析式为y= ，

∵点B的坐标为（2 ，6），

∴有6= ，解得：n=12 ．

若要第一象限的双曲线y= 与△BDE没有交点，只需m＜k或m＞n即可，

∴m＜9 或m＞12 ．

答：若第一象限的双曲线y= 与△BDE没有交点，m的取值范围为m＜9 或m＞12


【解析】（1）过点B作BM⊥OA于点M，由等边三角形的性质结合点A的坐标找出点B的坐标，再利用中点坐标公式即可求出点D的坐标，最后利用待定系数法即可得出结论；（2）设过点B的反比例函数的解析式为y= ，由点B的坐标利用待定系数法求出n的值，根据反比例函数的性质即可得出m的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的反比例函数的性质，需要了解性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能得出正确答案．

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